微积分Part 2

看这篇之前建议先看前一篇。

0.微分#

记作 $\text{d} x$

顾名思义，就是把自变量与函数都无限分割。

这和之前的极限有点相似之处，并且敏锐的你可能发现了，之前写的导数有一个记法，是 $\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}$，事实上，导数就是微分的商，也叫做微商。

然后微分的定义式为 $\text{d} f(x) = f'(x) \text{d}x$。

如果你好好看了上一篇，那就能根据导数的运算来推出微分的运算。

其实微分反映的是函数的变化量，微分的商反映的是函数的变化率。

1.不定积分#

本质上是微分的逆运算。

若 $F'(x) = f(x)$，则有 $F(x) = \int f(x) \text{d} x$，其思想就是先无穷分割，对每个分割出来的点求函数值，最后再合并。

2.定积分#

我们考虑这样一个问题，二次函数 $f(x) = x ^ 2$ 的图像与 $x$ 轴，直线 $x = k$ 围成的图形面积该怎么计算。

我们可以考虑用一个个等宽的矩形来近似的估计该图像的面积，当宽越小，则答案就更精确。当这个宽可以近似的看成一个点的时候，再用上面的不定积分的思想，就可以求出面积了。

不定积分其实就是函数与 $x$ 轴，直线 $x = a,x = b$ 围成的图形的面积，记作 $\int _ a ^ b f(x) \text{d} x$。

然后你可能就要问了，你这光给式子不会算那有什么用啊。这个时候，我就应该丢出一个微积分基本定理，又称牛顿-莱布尼茨公式了：$F(x) = \int f(x) \text{d} x, \int _ a ^ b f(x) \text{d} x = F(b) - F(a)$。

积分也是有积分表的，我懒得写了。

具体证明可以看这里

并且积分可以使用分部积分法，因为 $(uv)' = u'v + uv'$，所以有 $\int u'v \text{d}x = uv - \int uv' \text{d} x$

3.应用#

P4525 【模板】自适应辛普森法 1#

既然有理为何不暴算

应用分部积分法与查找积分表，得 $F(x) = \frac{ad - bc}{a ^ 2} \ln(|a ^ x + ab|) + \frac{c}{ax}$，则答案为 $F(R) - F(L)$。